Semestre 02, 2026
Secuencia de observaciones de una variable registradas en orden cronológico, generalmente a intervalos regulares (cada hora, día, mes o año).
$$y_1,\; y_2,\; \dots,\; y_t$$
\(y_t\) es el valor en el instante \(t\). Pronosticar significa estimar \(y_{t+1},\, y_{t+2},\, \dots\) usando la información disponible hasta \(t\).
Casi cualquier serie puede descomponerse en cuatro componentes que la explican.
Descomponer una serie es separarla en sus componentes para verlos por separado: la tendencia, la estacionalidad y el ruido. En lugar de mirar la serie completa como un solo trazo confuso, la abrimos en las partes que la generan.
$$y_t = T_t + S_t + R_t$$
Cuando la amplitud estacional es constante.
$$y_t = T_t \times S_t \times R_t$$
Cuando la amplitud estacional crece con el nivel de la serie.
Una serie es estacionaria cuando sus propiedades estadísticas no cambian con el tiempo. Es el supuesto central de los modelos clásicos (AR, MA, ARMA, ARIMA).
Una serie es estacionaria si cumple tres cosas, y las tres dicen lo mismo: su comportamiento no cambia con el tiempo.
La serie oscila siempre alrededor del mismo nivel, sin subir ni bajar de forma sostenida. Es decir, no tiene tendencia.
La amplitud de las oscilaciones se mantiene pareja a lo largo del tiempo: no hay tramos mucho más agitados que otros.
Qué tanto se relacionan dos puntos depende solo de la distancia entre ellos (el lag), no del momento en que ocurren.
Una serie estacionaria es predecible en su estructura: lo que aprendemos del pasado sigue siendo válido en el futuro. Si hay tendencia o estacionalidad, esos patrones cambian la media o la varianza y rompen el supuesto.
Mide cuánto se parece la serie a una versión de sí misma desplazada k pasos hacia atrás. A ese desplazamiento se le llama lag k.
Si al comparar la serie con su versión de hace k pasos los valores suben y bajan juntos, hay autocorrelación en ese lag: el pasado a esa distancia ayuda a predecir el presente.
Correlación entre y(t) y y(t−k) contando todos los efectos intermedios. Incluye tanto la relación directa como la que pasa por los lags de en medio.
Sirve para identificar el orden q de la parte MA.
Correlación entre y(t) y y(t−k) quitando el efecto de los lags intermedios. Mide solo la relación directa entre ambos puntos.
Sirve para identificar el orden p de la parte AR.
La diferencia es qué relación miden entre y(t) y y(t−k).
Serie de valores independientes, con media cero y varianza constante. No tiene estructura predecible.
Es el ideal al que deben parecerse los residuos de un buen modelo: si sobra estructura en los residuos, aún hay información sin aprovechar.
El valor actual es una combinación lineal de sus \(p\) valores pasados más un error.
$$y_t = c + \phi_1 y_{t-1} + \dots + \phi_p y_{t-p} + \varepsilon_t$$
Idea: el futuro se parece al pasado reciente.
La temperatura de hoy en una ciudad se parece mucho a la de ayer y anteayer. Con los últimos días basta para estimar la de mañana.
El valor actual es una combinación lineal de los \(q\) errores pasados.
$$y_t = c + \varepsilon_t + \theta_1 \varepsilon_{t-1} + \dots + \theta_q \varepsilon_{t-q}$$
Idea: el futuro se corrige según los errores recientes del modelo.
Ventas diarias de una tienda tras choques puntuales: una promoción sorpresa eleva la venta un día, y ese efecto se disipa en los siguientes.
ARMA(p, q) combina las dos ideas anteriores: parte autorregresiva más parte de medias móviles.
$$y_t = c + \sum_{i=1}^{p} \phi_i\, y_{t-i} + \varepsilon_t + \sum_{j=1}^{q} \theta_j\, \varepsilon_{t-j}$$
El rendimiento diario de una acción ya sin tendencia: depende de su inercia reciente (AR) y a la vez se corrige por las sorpresas de los últimos días del mercado (MA).
ARMA no puede modelar directamente series con tendencia o estacionalidad. Para eso extendemos el modelo a ARIMA.
ARIMA(p, d, q) es la generalización más usada. La "I" viene de Integrated: incorpora la diferenciación para manejar series no estacionarias.
| Parámetro | Significado | Cómo se elige |
|---|---|---|
p | Orden autorregresivo (AR) | PACF |
d | Número de diferenciaciones | Pruebas de estacionariedad |
q | Orden de medias móviles (MA) | ACF |
El PIB o las ventas anuales de una empresa que crecen con el tiempo: tienen tendencia, así que se diferencian (d) para quitarla y luego se modela lo que queda.
d es cuántas veces diferenciamos para volver la serie estacionaria.
Sobre-diferenciar añade autocorrelación artificial y empeora el modelo. Se busca la d más pequeña posible.
Sobre la serie ya diferenciada, se leen las gráficas ACF y PACF buscando en qué lag se cortan.
| Modelo | ACF | PACF |
|---|---|---|
| AR(p) | Decae poco a poco | Se corta tras el lag p |
| MA(q) | Se corta tras el lag q | Decae poco a poco |
| ARMA(p,q) | Decae poco a poco | Decae poco a poco |
Significa que las barras de la gráfica caen dentro de la banda de confianza y dejan de ser significativas: a partir de ese lag ya no hay correlación que aprovechar.
La ACF y la PACF dan candidatos; para elegir entre ellos se comparan con un criterio de información.
Existen herramientas que prueban muchas combinaciones de (p, d, q) de forma automática y se quedan con la que da el menor AIC.
Son un buen punto de partida, pero conviene revisar el resultado con ACF/PACF y con el diagnóstico de residuos en lugar de confiar a ciegas.
Agrega términos estacionales, donde m es la longitud del período (12 para datos mensuales, 7 para diarios). Se usa cuando la serie tiene estacionalidad clara.
Las ventas mensuales de una tienda con pico cada diciembre, o el consumo eléctrico que sube cada verano: el mismo patrón se repite año con año (m = 12).
El conjunto de prueba debe ser siempre posterior en el tiempo al de entrenamiento. Barajar los datos filtra información del futuro y arruina la evaluación.
Primero, en orden cronológico, va el tramo de entrenamiento; el tramo de prueba es siempre el más reciente, al final de la línea de tiempo.
Se avanza en el tiempo: se entrena, se predice el siguiente paso, se incorpora el valor real y se repite. Simula el uso real del modelo.
| Métrica | Qué mide | Nota |
|---|---|---|
MAE | Error absoluto medio | En las unidades de la serie |
RMSE | Raíz del error cuadrático medio | Penaliza más los errores grandes |
MAPE | Error porcentual absoluto medio | Comparable entre series |
No hay un modelo universalmente mejor; depende de los datos y del objetivo.
| Situación | Modelo sugerido |
|---|---|
| Serie estacionaria, pocos datos | ARMA / ARIMA |
| Tendencia y estacionalidad clásicas | SARIMA |
| Referencia base para comparar | Modelo naive |
| Modelo | Tipo de serie | Qué captura |
|---|---|---|
| AR(p) | Estacionaria | Dependencia de los valores pasados |
| MA(q) | Estacionaria | Dependencia de los errores pasados |
| ARMA(p,q) | Estacionaria | Valores y errores pasados juntos |
| ARIMA(p,d,q) | Con tendencia | ARMA más diferenciación (d) |
| SARIMA | Con estacionalidad | ARIMA más términos estacionales |