# Series de Tiempo Semestre 02, 2026 ## Definición Una serie de tiempo es una secuencia de observaciones de una variable registradas en orden cronológico, generalmente a intervalos regulares (cada hora, día, mes, año). ### Lo que la hace especial * El orden importa: no podemos reordenar las observaciones como en un dataset tabular normal. * Las observaciones cercanas en el tiempo suelen estar correlacionadas (autocorrelación). * El objetivo típico es pronosticar (forecasting): estimar valores futuros a partir del pasado. ### Ejemplos comunes * Precio de una acción día a día. * Ventas mensuales de una tienda. * Temperatura horaria de una ciudad. * Consumo eléctrico de un país. * Número de casos de una enfermedad por semana. ### Notación Denotamos la serie como $y_1, y_2, \dots, y_t$, donde $y_t$ es el valor en el instante $t$. Pronosticar significa estimar $y_{t+1}, y_{t+2}, \dots$ usando la información disponible hasta $t$. ## Componentes de una Serie de Tiempo Casi cualquier serie puede descomponerse en cuatro componentes que la explican. ### Los cuatro componentes * Tendencia (trend): dirección de largo plazo, sube o baja de forma sostenida. * Estacionalidad (seasonality): patrones que se repiten en un período fijo y conocido (cada 12 meses, cada 7 días). * Ciclo (cycle): oscilaciones de largo plazo sin período fijo (ciclos económicos). * Ruido / irregular (residual): variación aleatoria que no se explica con lo anterior. ### Descomposición * Aditiva: $y_t = T_t + S_t + R_t$. Se usa cuando la amplitud estacional es constante. * Multiplicativa: $y_t = T_t \times S_t \times R_t$. Se usa cuando la amplitud estacional crece con el nivel de la serie. ### Descomposición con Python ```python from statsmodels.tsa.seasonal import seasonal_decompose resultado = seasonal_decompose(serie, model="additive", period=12) resultado.plot() ``` ## Estacionariedad Una serie es estacionaria cuando sus propiedades estadísticas no cambian con el tiempo. Es el supuesto central de los modelos clásicos (AR, MA, ARMA, ARIMA). ### Condiciones (estacionariedad débil) * Media constante en el tiempo. * Varianza constante en el tiempo. * La autocovarianza depende solo de la distancia entre observaciones (el lag), no del instante. ### Por qué importa Una serie estacionaria es predecible en su estructura: lo que aprendemos del pasado sigue siendo válido en el futuro. Si hay tendencia o estacionalidad, esos patrones cambian la media o la varianza y rompen el supuesto. ### Cómo detectarla * Visualmente: graficar la serie y buscar tendencia o cambios de varianza. * Prueba de Dickey-Fuller Aumentada (ADF): la hipótesis nula es que la serie NO es estacionaria; si el p-valor es menor a 0.05, se rechaza y consideramos la serie estacionaria. * Prueba KPSS: complementaria a la ADF, con hipótesis nula opuesta (la serie SÍ es estacionaria). ```python from statsmodels.tsa.stattools import adfuller resultado = adfuller(serie) print("Estadístico ADF:", resultado[0]) print("p-valor:", resultado[1]) ``` ### Cómo volverla estacionaria * Diferenciación: trabajar con $y_t - y_{t-1}$ en lugar del valor original; elimina tendencia. * Diferenciación estacional: $y_t - y_{t-s}$ para quitar estacionalidad de período $s$. * Transformación logarítmica o de Box-Cox: estabiliza la varianza. ## Autocorrelación: ACF y PACF La autocorrelación mide cuánto se parece la serie a una versión de sí misma desplazada $k$ pasos (lag $k$). Es la herramienta para elegir los parámetros de los modelos. ### ACF (función de autocorrelación) Mide la correlación entre $y_t$ y $y_{t-k}$ incluyendo los efectos intermedios. Ayuda a identificar el orden $q$ de la parte de medias móviles (MA). ### PACF (función de autocorrelación parcial) Mide la correlación entre $y_t$ y $y_{t-k}$ eliminando el efecto de los lags intermedios. Ayuda a identificar el orden $p$ de la parte autorregresiva (AR). ### Graficarlas ```python from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acf, plot_pacf plot_acf(serie, lags=30) plot_pacf(serie, lags=30) ``` ## Bloques de Construcción: AR y MA Antes de ARMA y ARIMA necesitamos entender sus dos piezas y el ruido blanco. ### Ruido blanco Una serie de valores independientes, con media cero y varianza constante. No tiene estructura predecible: es el ideal al que deben parecerse los residuos de un buen modelo. ### Modelo Autorregresivo AR(p) El valor actual se explica como una combinación lineal de sus $p$ valores pasados más un error. $$y_t = c + \phi_1 y_{t-1} + \phi_2 y_{t-2} + \dots + \phi_p y_{t-p} + \varepsilon_t$$ Idea: "el futuro se parece al pasado reciente". ### Modelo de Medias Móviles MA(q) El valor actual se explica como una combinación lineal de los $q$ errores pasados. $$y_t = c + \varepsilon_t + \theta_1 \varepsilon_{t-1} + \dots + \theta_q \varepsilon_{t-q}$$ Idea: "el futuro se corrige según los errores recientes del modelo". ## Modelo ARMA ARMA(p, q) combina las dos ideas anteriores en un solo modelo: parte autorregresiva más parte de medias móviles. ### La ecuación $$y_t = c + \sum_{i=1}^{p} \phi_i y_{t-i} + \varepsilon_t + \sum_{j=1}^{q} \theta_j \varepsilon_{t-j}$$ ### Cuándo usarlo * Solo para series estacionarias (sin tendencia ni estacionalidad). * $p$ es el orden autorregresivo (lo sugiere la PACF). * $q$ es el orden de medias móviles (lo sugiere la ACF). ### Limitación ARMA no puede modelar directamente series con tendencia o estacionalidad. Para eso extendemos el modelo a ARIMA. ## Modelo ARIMA ARIMA(p, d, q) es la generalización más usada. La "I" viene de Integrated: incorpora la diferenciación para manejar series no estacionarias. ### Los tres parámetros | Parámetro | Significado | Cómo se elige | |-----------|--------------------------------------|--------------------------| | p | Orden autorregresivo (AR) | PACF | | d | Número de diferenciaciones | Pruebas de estacionariedad | | q | Orden de medias móviles (MA) | ACF | ### La idea 1. Diferenciar la serie $d$ veces hasta volverla estacionaria. 2. Ajustar un modelo ARMA(p, q) sobre la serie diferenciada. 3. Integrar (deshacer la diferenciación) para producir el pronóstico en la escala original. ### Metodología Box-Jenkins Es el flujo estándar para construir un ARIMA: 1. Identificación: volver la serie estacionaria y examinar ACF/PACF para proponer p, d, q. 2. Estimación: ajustar el modelo y estimar sus coeficientes. 3. Diagnóstico: verificar que los residuos parezcan ruido blanco. 4. Pronóstico: si los residuos son adecuados, generar predicciones. ### SARIMA: la variante estacional SARIMA(p, d, q)(P, D, Q)m agrega términos estacionales, donde $m$ es la longitud del período (12 para datos mensuales, 7 para diarios). Se usa cuando la serie tiene estacionalidad clara. ### ARIMA con statsmodels ```python from statsmodels.tsa.arima.model import ARIMA modelo = ARIMA(serie, order=(1, 1, 1)) ajuste = modelo.fit() print(ajuste.summary()) pronostico = ajuste.forecast(steps=12) ``` ### Selección automática con pmdarima `auto_arima` prueba muchas combinaciones de (p, d, q) y elige la mejor según el criterio de información AIC. ```python import pmdarima as pm modelo = pm.auto_arima(serie, seasonal=True, m=12, trace=True, suppress_warnings=True) print(modelo.summary()) ``` ## Prophet Prophet es una librería de código abierto creada por Meta (Facebook) para pronóstico. Está pensada para que analistas sin experiencia profunda en series de tiempo obtengan buenos resultados rápido. ### El modelo Prophet es un modelo aditivo que descompone la serie en componentes interpretables: $$y(t) = g(t) + s(t) + h(t) + \varepsilon_t$$ * $g(t)$: tendencia (lineal o de saturación logística). * $s(t)$: estacionalidad (anual, semanal, diaria) modelada con series de Fourier. * $h(t)$: efecto de días festivos y eventos especiales. * $\varepsilon_t$: error. ### Ventajas * Robusto ante datos faltantes y valores atípicos. * Detecta automáticamente cambios de tendencia (changepoints). * Permite agregar festivos y eventos con facilidad. * Requiere poca configuración y sus componentes son interpretables. ### Cuándo brilla * Series con estacionalidad fuerte de negocio (ventas, tráfico web). * Datos diarios con efectos de fin de semana y festivos. * Historiales de varios períodos estacionales. ### Uso con Python Prophet exige un DataFrame con dos columnas: `ds` (fecha) y `y` (valor). ```python from prophet import Prophet df = df.rename(columns={"fecha": "ds", "valor": "y"}) modelo = Prophet(yearly_seasonality=True, weekly_seasonality=True) modelo.fit(df) futuro = modelo.make_future_dataframe(periods=90) pronostico = modelo.predict(futuro) modelo.plot(pronostico) modelo.plot_components(pronostico) ``` ## Redes Neuronales para Series de Tiempo Cuando las relaciones son no lineales o hay muchas variables, las redes neuronales pueden superar a los modelos clásicos, a costa de más datos y menos interpretabilidad. ### Reformular como aprendizaje supervisado La técnica clave es la ventana deslizante (sliding window): usamos los últimos $n$ valores como entrada (X) para predecir el siguiente (y). ```plaintext Entrada (X) -> Salida (y) [y1, y2, y3] -> y4 [y2, y3, y4] -> y5 [y3, y4, y5] -> y6 ``` ### RNN (Redes Neuronales Recurrentes) Procesan la secuencia paso a paso y mantienen un estado oculto que resume lo visto. Sufren el problema del desvanecimiento del gradiente en secuencias largas. ### LSTM (Long Short-Term Memory) Un tipo de RNN con compuertas (gates) que deciden qué recordar y qué olvidar. Manejan dependencias de largo plazo y son el estándar clásico para series con redes neuronales. ### GRU (Gated Recurrent Unit) Una versión más simple y ligera que la LSTM, con menos parámetros y desempeño a menudo comparable. ### Otras arquitecturas * CNN 1D: detectan patrones locales en la secuencia; rápidas de entrenar. * Transformers: usan atención para capturar dependencias largas; base de los modelos modernos de pronóstico. ### Ejemplo de LSTM con Keras ```python from tensorflow.keras.models import Sequential from tensorflow.keras.layers import LSTM, Dense modelo = Sequential([ LSTM(50, activation="relu", input_shape=(n_pasos, 1)), Dense(1) ]) modelo.compile(optimizer="adam", loss="mse") modelo.fit(X, y, epochs=100, verbose=0) ``` ### Costo de usarlas * Necesitan bastantes datos para entrenar bien. * Requieren escalar los datos (por ejemplo, a un rango 0–1). * Son cajas negras: difíciles de interpretar. * Más lentas de entrenar y ajustar que un ARIMA. ## Evaluación de Modelos de Pronóstico Evaluar series de tiempo es distinto: no podemos mezclar el pasado con el futuro. ### Partición temporal (nunca aleatoria) El conjunto de prueba debe ser siempre posterior en el tiempo al de entrenamiento. Barajar (shuffle) los datos filtra información del futuro hacia el pasado y arruina la evaluación. ```plaintext |------------ entrenamiento ------------|--- prueba ---| tiempo --> ``` ### Validación walk-forward En lugar de una sola partición, se avanza en el tiempo: se entrena, se predice el siguiente paso, se incorpora el valor real y se repite. Simula el uso real del modelo. ### Métricas de error | Métrica | Qué mide | Nota | |---------|---------------------------------------|-------------------------------| | MAE | Error absoluto medio | En las unidades de la serie | | RMSE | Raíz del error cuadrático medio | Penaliza más los errores grandes | | MAPE | Error porcentual absoluto medio | Comparable entre series | ```python from sklearn.metrics import mean_absolute_error, mean_squared_error import numpy as np mae = mean_absolute_error(y_real, y_pred) rmse = np.sqrt(mean_squared_error(y_real, y_pred)) ``` ## ¿Qué Modelo Elegir? No hay un modelo universalmente mejor; depende de los datos y del objetivo. ### Guía rápida | Situación | Modelo sugerido | |---------------------------------------------------|------------------------| | Serie estacionaria, pocos datos | ARMA / ARIMA | | Tendencia y estacionalidad clásicas | SARIMA | | Estacionalidad de negocio, festivos, faltantes | Prophet | | Relaciones no lineales, muchos datos | LSTM / GRU / Transformers | | Referencia base para comparar | Modelo naive (último valor) | ### Recomendación práctica * Empieza siempre con un modelo simple (naive o ARIMA) como línea base. * Sube en complejidad solo si mejora la métrica de forma clara. * Un modelo más complejo no siempre es mejor: valida contra la línea base. ## Resumen * Una serie de tiempo es una secuencia ordenada en el tiempo; el orden y la autocorrelación son lo que la distingue. * Se descompone en tendencia, estacionalidad, ciclo y ruido. * La estacionariedad es el supuesto central de los modelos clásicos; se verifica con ADF/KPSS y se logra diferenciando. * AR y MA son los bloques; ARMA los combina para series estacionarias. * ARIMA agrega diferenciación (d) para manejar tendencia; SARIMA agrega estacionalidad. * Prophet ofrece un modelo aditivo robusto e interpretable, ideal para datos de negocio. * Las redes neuronales (LSTM, GRU, Transformers) capturan relaciones no lineales a cambio de más datos y menos interpretabilidad. * Evalúa con partición temporal, validación walk-forward y métricas como MAE, RMSE y MAPE.