Álgebra Relacional - Bases de Datos 1

# Álgebra Relacional
Semestre 01, 2026

## Contexto

* Las bases de datos almacenan información estructurada  
* Necesitamos una forma formal de consultar los datos   
* SQL se basa en un modelo matemático

## Definición

* Lenguaje formal para manipular relaciones  
* Creado por Edgar F. Codd  
* Base teórica de SQL

## Diferencia con SQL

* Álgebra relacional → declarativa matemática  
* SQL → lenguaje práctico  
* SQL implementa estos operadores

## Recurden

* Relación → tabla  
* Tupla → fila  
* Atributo → columna  
* Dominio → conjunto de valores posibles

## Propiedades

* El resultado de cada operación es una relación  
* Se pueden encadenar operaciones  
* Es un sistema cerrado

## Operadores básicos

### Selección (σ)

* Filtra filas según una condición lógica  
* Opera sobre tuplas  
* No modifica columnas  
* Reduce el número de filas

Forma general:

σ condición (Relación)

### Ejemplo - Selección

Relación Estudiantes(id, nombre, carrera)

σ carrera = "Ingeniería" (Estudiantes)

Resultado:

Solo estudiantes cuya carrera sea Ingeniería.

![seleccion](/courses/2026/cc3088/assets/seleccion.png)

En álgebra:

σ carrera = "Ingeniería" (Estudiantes)

En SQL:

```sql
SELECT *
FROM Estudiantes
WHERE carrera = 'Ingeniería';
```

### Proyección (π)

* Selecciona atributos específicos  
* Reduce el número de columnas  
* Puede eliminar duplicados  
* No modifica filas directamente

Forma general:

π atributos (Relación)

### Ejemplo - Proyeccion

Relación Estudiantes(id, nombre, carrera)

π nombre (Estudiantes)

Resultado:

Lista de nombres de estudiantes.

![proyeccion](/courses/2026/cc3088/assets/proyeccion.png)

En álgebra:

π nombre (Estudiantes)

En SQL:

```sql
SELECT nombre
FROM Estudiantes;
```

### Unión (∪)

* Combina tuplas de dos relaciones  
* Requiere compatibilidad  
  - Mismo número de atributos  
  - Mismos dominios  
* Elimina duplicados

Forma:

R ∪ S

### Ejemplo - Unión

Relación Ingeniería(id, nombre)

Relación Derecho(id, nombre)

Unvenieria U Derecho

Resultado:

Lista completa de estudiantes de Ingeniería y Derecho, sin duplicados.

![union](/courses/2026/cc3088/assets/union.png)

En álgebra:

Ingeniería ∪ Derecho

En SQL:

```sql
SELECT id, nombre FROM Ingenieria
UNION
SELECT id, nombre FROM Derecho;
```

Unión → UNION (elimina duplicados)

### Diferencia (−)

* Devuelve tuplas que están en una relación  
* Pero no en la otra  
* Requiere compatibilidad

Forma:

R − S

### Ejemplo 1

Relación Estudiantes(id, nombre, carrera)

Relación Ingeniería(id, nombre)

Estudiantes - Ingeniería

Resultado:

Lista de estudiantes que no pertenecen a la carrera de Ingeniería.

![diferencia](/courses/2026/cc3088/assets/diferencia.png)

En álgebra:

Estudiantes − Ingeniería

En SQL:

```sql
SELECT * FROM Estudiantes
EXCEPT
SELECT * FROM Ingenieria;
```

Alternativa con subconsulta:

```sql
SELECT id, nombre, carrera
FROM Estudiantes
WHERE id NOT IN (
    SELECT id FROM Ingenieria
);
```

### Producto cartesiano (×)

* Combina cada tupla de R con cada tupla de S  
* Multiplica el número de filas  
* Base para joins (ya falta poco...)

Forma:

R × S

### Ejemplo - Producto cartesiano

Relación Estudiantes(id, nombre)

Relación Cursos(id_curso, nombre_curso)

Estudiantes×Cursos

Resultado:

Cada estudiante combinado con cada curso.

![producto](/courses/2026/cc3088/assets/producto.png)

En álgebra:

Estudiantes × Cursos

En SQL:

```sql
SELECT *
FROM Estudiantes
CROSS JOIN Cursos;
```

Producto cartesiano → CROSS JOIN

## Operadores derivados

### Intersección (∩)

* Devuelve las tuplas que aparecen en ambas relaciones  
* Requiere compatibilidad
* Es el equivalente lógico del AND entre conjuntos

Forma:

R ∩ S

### Ejemplo 1

Relación Estudiantes(id, nombre)

Relación Ingeniería(id, nombre)

Estudiantes ∩ Ingeniería

Resultado:

Todos los registros que aparecen en ambas relaciones.

![interseccion](/courses/2026/cc3088/assets/interseccion.png)

En álgebra:

Estudiantes ∩ Ingeniería

En SQL:

```sql
SELECT id, nombre
FROM Estudiantes
INTERSECT
SELECT id, nombre
FROM Ingenieria;
```

### Join (⨝)

* Combina relaciones relacionadas  
* Se basa en una condición de igualdad  
* Es producto cartesiano + selección  
* Es el operador más importante en bases de datos

Forma general:

R ⨝ condición S

### Ejemplo - Join

Relación Estudiantes(id, nombre)

Relación Inscripciones(id, id_curso)

Estudiantes ⨝ Estudiantes.id = Inscripciones.id Inscripciones

Resultado:

Combina las tuplas de ambas relaciones cuando se cumple la condición de igualdad entre los atributos indicados.

![join](/courses/2026/cc3088/assets/join.png)

En álgebra:

Estudiantes ⨝ Estudiantes.id = Inscripciones.id Inscripciones

En SQL:

```sql
SELECT *
FROM Estudiantes
INNER JOIN Inscripciones
ON Estudiantes.id = Inscripciones.id;
```

### Join natural

* Es un caso especial de join  
* Une automáticamente por atributos con el mismo nombre  
* No requiere condición explícita  
* Elimina columnas duplicadas

Forma:

R ⨝ S

### Ejemplo - Join Natural

Relación Estudiantes(id, nombre)
Relación Inscripciones(id, id_curso)

Estudiantes ⨝ Inscripciones

Resultado:

El join natural combina automáticamente las tuplas de ambas relaciones utilizando los atributos que tienen el mismo nombre.

![join](/courses/2026/cc3088/assets/join-natural.png)

En álgebra:

Estudiantes ⨝ Inscripciones

En SQL:

```sql
SELECT *
FROM Estudiantes
NATURAL JOIN Inscripciones;
```

### División (÷)

* Responde consultas del tipo “para todos”  
* Identifica elementos relacionados con todos los de otra relación  
* Es uno de los operadores más abstractos

Forma:

R ÷ S

### Ejemplo - División

Inscripciones(estudiante, curso)

CursosObligatorios(curso)

Inscripciones ÷ CursosObligatorios

Resultado:

Estudiantes que han tomado todos los cursos obligatorios.

![division](/courses/2026/cc3088/assets/division.png)

En álgebra:

Inscripciones ÷ CursosObligatorios

En SQL:

```sql
SELECT estudiante
FROM Inscripciones i
GROUP BY estudiante
HAVING COUNT(DISTINCT curso) = (
    SELECT COUNT(*) FROM CursosObligatorios
);
```

## Operadores auxiliares

### Renombramiento (ρ)

* Cambia el nombre de una relación  
* Puede cambiar nombres de atributos  
* No modifica los datos  
* Solo cambia el esquema

Forma general:

ρ NuevoNombre(Relación)

En álgebra:

ρ E(Estudiantes)

En SQL:

```sql
SELECT *
FROM Estudiantes AS E;
```

### Ejemplo 1 – Renombrar relaciones

Relación Estudiantes(id, nombre, carrera)

ρ E(Estudiantes)

Resultado:

La relación ahora se llama E,
pero contiene exactamente los mismos datos.

### Ejemplo 2 – Renombrar atributos

Relación Estudiantes(id, nombre, carrera)

ρ Est(id_est, nom, car)(Estudiantes)

Resultado:

Solo cambian los nombres,
no las tuplas.

## Composición de operaciones

* El álgebra relacional permite encadenar operadores  
* Cada operación produce una relación  
* Las expresiones pueden anidarse  
* El orden de evaluación es importante

### Precedencia

* Los operadores internos se evalúan primero  
* Paréntesis determinan el orden  
* Sin paréntesis, se aplica precedencia estándar  
* Selección y proyección suelen aplicarse antes que unión o diferencia

## Ejemplos

## Ejemplo 1

![ej1-enunciado](/courses/2026/cc3088/assets/ej1-enunciado.png)

Resultado:

Nombres de estudiantes de Ingeniería.

### Paso 1 – Estudiantes ⨝ Inscripciones

Join por id.

| id | nombre | carrera    | id_curso |
| -- | ------ | ---------- | -------- |
| 1  | Ana    | Ingeniería | 10       |
| 1  | Ana    | Ingeniería | 20       |
| 2  | Luis   | Derecho    | 20       |
| 3  | Marta  | Ingeniería | 10       |

### Paso 2 – Join con Cursos

Join por id_curso.

| id | nombre | carrera    | id_curso | nombre_curso |
| -- | ------ | ---------- | -------- | ------------ |
| 1  | Ana    | Ingeniería | 10       | Bases        |
| 1  | Ana    | Ingeniería | 20       | Redes        |
| 2  | Luis   | Derecho    | 20       | Redes        |
| 3  | Marta  | Ingeniería | 10       | Bases        |

### Paso 3 – Seleccion nombre_curso = "Redes"

| id | nombre | carrera    | id_curso | nombre_curso |
| -- | ------ | ---------- | -------- | ------------ |
| 1  | Ana    | Ingeniería | 20       | Redes        |
| 2  | Luis   | Derecho    | 20       | Redes        |

### Paso 4 – Proyeccion nombre

| nombre |
| ------ |
| Ana    |
| Luis   |

![ej1](/courses/2026/cc3088/assets/ej1.png)

```sql
SELECT DISTINCT e.nombre
FROM Estudiantes e
INNER JOIN Inscripciones i
    ON e.id = i.id
INNER JOIN Cursos c
    ON i.id_curso = c.id_curso
WHERE c.nombre_curso = 'Redes';
```

## Ejemplo 2

![ej2-enunciado](/courses/2026/cc3088/assets/ej2-enunciado.png)

Resultado:

Todos los estudiantes que no están inscritos en el curso Redes.

### Paso 1 – π nombre(Estudiantes)

Proyección de todos los estudiantes.

| nombre |
| ------ |
| Ana    |
| Luis   |
| Marta  |

### Paso 2 – Estudiantes ⨝ Inscripciones

Join por id.

### Paso 3 – Join con Cursos

Join por id_curso.

### Paso 4 – Seleccion nombre_curso = "Redes"

### Paso 5 – π nombre (estudiantes inscritos en Redes)

| nombre |
| ------ |
| Ana    |
| Luis   |

### Paso 6 – Diferencia

Todos los estudiantes − Estudiantes inscritos en Redes

| nombre |
| ------ |
| Marta  |

![ej2](/courses/2026/cc3088/assets/ej2.png)

```sql
SELECT DISTINCT e.nombre
FROM Estudiantes e
WHERE e.id NOT IN (
    SELECT e2.id
    FROM Estudiantes e2
    INNER JOIN Inscripciones i
        ON e2.id = i.id
    INNER JOIN Cursos c
        ON i.id_curso = c.id_curso
    WHERE c.nombre_curso = 'Redes'
);
```

## Ejemplo 3

![ej3-enunciado](/courses/2026/cc3088/assets/ej3-enunciado.png)

Resultado:

Nombres de estudiantes de Ingeniería que están inscritos en el curso Bases.

### Paso 1 – Estudiantes ⨝ Inscripciones

Join por id.

### Paso 2 – Join con Cursos

Join por id_curso.

### Paso 3 – Seleccion carrera = "Ingeniería" ∧ nombre_curso = "Bases"

| id | nombre | carrera    | id_curso | nombre_curso |
| -- | ------ | ---------- | -------- | ------------ |
| 1  | Ana    | Ingeniería | 10       | Bases        |
| 3  | Marta  | Ingeniería | 10       | Bases        |

### Paso 4 – Proyeccion nombre

| nombre |
| ------ |
| Ana    |
| Marta  |

![ej3](/courses/2026/cc3088/assets/ej3.png)

```sql
SELECT DISTINCT e.nombre
FROM Estudiantes e
INNER JOIN Inscripciones i
    ON e.id = i.id
INNER JOIN Cursos c
    ON i.id_curso = c.id_curso
WHERE e.carrera = 'Ingeniería'
  AND c.nombre_curso = 'Bases';
```